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解析
1.确定dp数组以及下标的含义
对于背包问题#xff0c;有一种写法#xff0c; 是使用二维数组#xff0c;即dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取#xff0c;放进容量为j的背包#xff0c;价值总和最大是多少。
2.确定递推公式
有两个方向推出来dp[i][…背包
解析
1.确定dp数组以及下标的含义
对于背包问题有一种写法 是使用二维数组即dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取放进容量为j的背包价值总和最大是多少。
2.确定递推公式
有两个方向推出来dp[i][j]
不放物品i由dp[i - 1][j]推出即背包容量为j里面不放物品i的最大价值此时dp[i][j]就是dp[i - 1][j]。(其实就是当物品i的重量大于背包j的重量时物品i无法放进背包中所以背包内的价值依然和前面相同。)放物品i由dp[i - 1][j - weight[i]]推出dp[i - 1][j - weight[i]] 为背包容量为j - weight[i]的时候不放物品i的最大价值那么dp[i - 1][j - weight[i]] value[i] 物品i的价值就是背包放物品i得到的最大价值
所以递归公式 dp[i][j] max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] value[i]);
3.dp数组如何初始化
dp[i][j]的定义出发如果背包容量j为0的话即dp[i][0]无论是选取哪些物品背包价值总和一定为0。
状态转移方程 dp[i][j] max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] value[i]); 可以看出i 是由 i-1 推导出来那么i为0的时候就一定要初始化。
dp[0][j]即i为0存放编号0的物品的时候各个容量的背包所能存放的最大价值。
明显当 j weight[0]的时候dp[0][j] 应该是 0因为背包容量比编号0的物品重量还小。
当j weight[0]时dp[0][j] 应该是value[0]因为背包容量放足够放编号0物品。
从递归公式 dp[i][j] max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] value[i]); 可以看出dp[i][j] 是由左上方数值推导出来了那么 其他下标初始为什么数值都可以因为都会被覆盖。
一开始就统一把dp数组统一初始为0更方便一些。
4.确定遍历顺序
先遍历 物品还是先遍历背包重量呢
其实都可以 但是先遍历物品更好理解。
5.举例推导dp数组 Java代码
public class BagProblem {public static void main(String[] args) {int[] weight {1, 3, 4};int[] value {15, 20, 30};int bagSize 4;testWeightBagProblem(weight, value, bagSize);}private static void testWeightBagProblem(int[] weight, int[] value, int bagSize) {int goods weight.length;int[][] dp new int[weight.length][bagSize 1];for (int j weight[0]; j bagSize; j) {dp[0][j] value[0];}for (int i 1; i weight.length; i) {for (int j 1; j bagSize; j) {if (j weight[i]) {dp[i][j] dp[i - 1][j];} else {dp[i][j] Math.max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] value[i]);}}}for (int i 0; i goods; i) {for (int j 0; j bagSize; j) {System.out.print(dp[i][j] \t);}System.out.println(\n);}}}
背包一维dp数组滚动数组
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1.确定dp数组的定义
在一维dp数组中dp[j]表示容量为j的背包所背的物品价值可以最大为dp[j]。
2.一维dp数组的递推公式
dp[j]可以通过dp[j - weight[i]]推导出来dp[j - weight[i]]表示容量为j - weight[i]的背包所背的最大价值。
dp[j - weight[i]] value[i] 表示 容量为 j - 物品i重量 的背包 加上 物品i的价值。也就是容量为j的背包放入物品i了之后的价值即dp[j]
此时dp[j]有两个选择一个是取自己dp[j] 相当于 二维dp数组中的dp[i-1][j]即不放物品i一个是取dp[j - weight[i]] value[i]即放物品i指定是取最大的毕竟是求最大价值
所以递归公式为
dp[j] max(dp[j], dp[j - weight[i]] value[i]);
3.一维dp数组如何初始化
dp[j]表示容量为j的背包所背的物品价值可以最大为dp[j]那么dp[0]就应该是0因为背包容量为0所背的物品的最大价值就是0。
dp数组在推导的时候一定是取价值最大的数如果题目给的价值都是正整数那么非0下标都初始化为0就可以了。
这样才能让dp数组在递归公式的过程中取的最大的价值而不是被初始值覆盖了。
4.一维dp数组遍历顺序
for(int i 0; i weight.size(); i) { // 遍历物品for(int j bagWeight; j weight[i]; j--) { // 遍历背包容量dp[j] max(dp[j], dp[j - weight[i]] value[i]);}
} 倒序遍历是为了保证物品i只被放入一次
所以从后往前循环每次取得状态不会和之前取得状态重合这样每种物品就只取一次了。
5.举例推导dp数组
一维dp分别用物品0物品1物品2 来遍历背包最终得到结果如下 Java代码实现
public class BagProblem {public static void main(String[] args) {int[] weight {1, 3, 4};int[] value {15, 20, 30};int bagSize 4;testWeightBagProblemScrollingArray(weight, value, bagSize);}private static void testWeightBagProblemScrollingArray(int[] weight, int[] value, int bagSize){int length weight.length;int[] dp new int[bagSize 1];for (int i 0; i weight.length; i) {for (int j bagSize; j weight[i]; j--) {dp[j] Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] value[i]);}}for (int j 0; j bagSize; j){System.out.print(dp[j] );}}}416. 分割等和子集
题目
416. 分割等和子集
给你一个 只包含正整数 的 非空 数组 nums 。请你判断是否可以将这个数组分割成两个子集使得两个子集的元素和相等。给你一个 只包含正整数 的 非空 数组 nums 。请你判断是否可以将这个数组分割成两个子集使得两个子集的元素和相等。
解析
本题要求集合里能否出现总和为 sum / 2 的子集。
1.确定dp数组以及下标的含义
dp[j]表示 背包总容量所能装的总重量是j放进物品后背的最大重量为dp[j]。
那么如果背包容量为target dp[target]就是装满 背包之后的重量所以 当 dp[target] target 的时候背包就装满了。
2.确定递推公式
本题相当于背包里放入数值那么物品i的重量是nums[i]其价值也是nums[i]。
所以递推公式dp[j] max(dp[j], dp[j - nums[i]] nums[i]);
3.dp数组如何初始化
题目中 只包含正整数的非空数组所以非0下标的元素初始化为0就可以了。
4.确定遍历顺序
使用一维dp数组物品遍历的for循环放在外层遍历背包的for循环放在内层且内层for循环倒序遍历
5.举例推导dp数组 Java代码实现
public boolean canPartition(int[] nums) {if (nums null || nums.length 0) {return false;}int sum 0;for (int num : nums) {sum num;}if (sum % 2 ! 0) {return false;}int target sum / 2;int[] dp new int[target 1];for (int i 0; i nums.length; i) {for (int j target; j nums[i]; j--) {dp[j] Math.max(dp[j], dp[j - nums[i]] nums[i]);}}return dp[target] target;
}
